인기 질문답변
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15. 그림과 같이 좌표평면 위의 점 A(0,1)을 지나고 \(x\)축에 접하는
원 C가 있다. 원 C가 \(y\)축과 만나는 또 다른 점을 P라 하고,
\(x\)축과 접하는 점을 Q(\(t\),0)이라 하자. 삼각형 APQ의 넓이를
\(S(t)\), 원 C의 반지름의 길이를 \(r(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to \infty} \frac{S(t)}{t \times r(t)}\)의
값은? (단, \(t>1\)이다.) [4점]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[thick] (0,0) circle (2);
\draw[thick] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[thick] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[thick] (0,1) -- (2,0);
\draw[fill] (0,1) circle (0.05);
\draw[fill] (2,0) circle (0.05);
\draw[fill] (0,0) circle (0.05);
\node at (0.3,1.3) {A};
\node at (2.3,0.3) {Q};
\node at (0.3,-0.3) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Step1. 원의 중심과 반지름 구하기
Q(t,0)이 접점이므로 중심은 (t, r(t
수학
1115
□n(n-1) + 2n(n-1)
부등식
15
□
3n(n-1) = 60 ⋅ □
□
\(P_3^n + 4 \times {}_nC_2 \le n \times {}_6C_3\)
을 만족하는 자연수 n의 개수는?
① 3
② 5
③ 6
④ 7
⑤ 10
Step1. 등식을 전개하여 단순화
좌변 nP3 + 4×nC2 를
수학
6 오른쪽 그림에서 ∠x의 크기를 구하시오.
75°
x
120°
13°
□
Step1. 오각형 내각의 합 구하기
수학
다음은 모든 자연수 \(n\)에 대하여 부등식
\[ \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!} < \frac{2}{n+1} \]
가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
[증명]
자연수 \(n\)에 대하여
\[ a_n = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!} \]
이라 할 때, \(a_n < \frac{2}{n+1}\)임을 보이면 된다.
(1) \(n = 1\)일 때, \(a_1 = \frac{1!}{2!} = \frac{1}{2} < 1\)이므로 주어진 부등식은
성립한다.
(2) \(n = k\)일 때, \(a_k < \frac{2}{k+1}\)라고 가정하면
\(n = k+1\)일 때,
\[ a_{k+1} = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + (k+1)!}{(k+2)!} = \text{(가)} (1 + a_k) \]
\[ < \text{(가)} \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right) \]
\[ = \frac{1}{k+2} + \text{(나)} \]
이다.
자연수 \(k\)에 대하여 \(\frac{2}{k+1} \le 1\)이므로 \(\text{(나)} \le \frac{1}{k+2}\)이고
\[ a_{k+1} < \frac{2}{k+2} \]
이다.
따라서 \(n = k+1\)일 때도 주어진 부등식은 성립한다.
그러므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.
위 증명에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? (3점)
(가) (나)
① \(\frac{1}{k+2}\) \(\frac{1}{(k+1)(□□□□)}\)
문제에서 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!}\)이라 할 때, 귀납법을 통해 \(a_n < \frac{2}{n+1}\)임을 보이는 과정에서 \(a_{k+1}\)을 변형하면
\(
\(a_{k+1} = \frac{1! + 2! + \dots + (k+1)!}{(k+2)!} = \frac{1}{k+2} \bigl(1 + a_k\bigr).\)
여기서 \(a_k < \frac{2}{k+1}\)를 이용하면
\(
\(a_{k+1} < \frac{1}{k+2}\Bigl(1 + \frac{2}{k+1}\Bigr) = \frac{1}{k+2} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}.\)
따라서 (가)는 \(\frac{1}{k+2}\), (나)는 \(\frac{2}{(k+1)(k+2)}\)가 되어야 하고, 주어진 보기 중 2번이 정답이다
수학
764. 원 \( (x-4)^2 + (y-4)^2 = 16 \) 위를 움직이는 점 P(x, y)를 직
선 \( y = x \) 에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 하자. 점 P, Q에서 x
축에 내린 수선의 발을 각각 P', Q'라 할 때, \( |PP' - QQ'| \) 의
최댓값은?
① \( 3\sqrt{3} \)
□ □
② □ □ □ □ □
Step1. 원 위 점 P와 Q의 좌표 관계 정리
P(x, y)가 원 \((x-4)^2+(y-4)^2=16\)
수학
0970 방정식 \(3(x-4) = \frac{1}{2}x + 4a\)의 해가 \(x=2\)일 때,
상수 \(a\)의 값은?
① \(-2\)
② \(-\frac{7}{4}\)
③ \(-\)□□
x에 2를 대입하여 식을 세웁니다.
\( 3(2 - 4) = \frac{1}{2} \times 2 + 4a \)
이를 계산하면
\( 3(-2) = 1 + 4a \)
수학
5
[24009-0046]
함수 \(f(x) = \begin{cases} x+a & (x<c \text{ 또는 } x>c+3) \\ x^2-4x+b & (c \le x \le c+3) \end{cases}\) 이 다음 조건을 만족시킬 때, \(a+b+c\)의 값을 구하시오.
(단, \(a\), \(b\), \(c\)는 상수이다.)
(가) 함수 \(f(x)\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(나) □□□□□
Step1. 연속 조건 세우기
구간 경계인
수학
자연수 \(n\)에 대하여 구간 \([(n-1)\pi, n\pi]\)에서 곡선 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin x\)
와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 하자. \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = a\)일 때,
\(50a\) □□□□□.
Step1. 구간별 적분 계산
구간 [(n-1)π, nπ]에서 (1/2)^n sin x를 적분하여, 넓이
수학
(1) \(-1\frac{1}{3} - \frac{5}{6} = -1\frac{\text{□}}{6} - \frac{5}{6} =\)
(2) \(-1\frac{5}{6} - \frac{2}{3} =\)
(3) \(-1\frac{3}{8} - \frac{1}{4} =\)
(4) \(-\frac{3}{4} - 2\frac{3}{8} =\)
(5) \(-\frac{1}{4} - 2\frac{5}{8} =\)
(6) \(2\frac{1}{2} + \frac{3}{8} =\)
(7) \(2\frac{3}{5} - \frac{1}{\text{□}} =\)
Step1. 문제 (1) 계산
가분수로 바꾸어 공
수학
다섯 명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 두 학생 A, B를 포함한 8명의 학생
이 있다. 이 8명의 학생 중에서 A, B를 포함하여 5명을 선택하고 이 5명의 학생
모두를 일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 할 때, A와 B가 이웃하게 되는 경우의
수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]
① 180
② □□
Step1. 추가 인원 선택
A, B를 포함하여 총 5명을 구성하기 위해
수학
05 오른쪽 그림에서 △ABC,
△BCD, △CDA의 무게
중심을 각각 P, Q, R라 할
때, \(\overline{PQ} + \overline{QR}\)의 길이를 구
□□□□□
Step1. 무게중심과 벡터 표현
각 삼각형의 무게중심을 세 꼭짓
수학
