다음은-모든-자연수-에-대하여-부등식-가-성립함을-수학적-귀납법으로-증명한-것이다-증명-자연수-에-대하여-이라-할-때-임을-보이면-된다-1-일-때-이므로-주어진-부등식은-성립한다-

Question

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식
$$ \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!} < \frac{2}{n+1} $$
가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
[증명]
자연수 $n$에 대하여
$$ a_n = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!} $$
이라 할 때, $a_n < \frac{2}{n+1}$임을 보이면 된다.

(1) $n = 1$일 때, $a_1 = \frac{1!}{2!} = \frac{1}{2} < 1$이므로 주어진 부등식은
성립한다.

(2) $n = k$일 때, $a_k < \frac{2}{k+1}$라고 가정하면
$n = k+1$일 때,
$$ a_{k+1} = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + (k+1)!}{(k+2)!} = \text{(가)} (1 + a_k) $$
$$ < \text{(가)} \left( 1 + \frac{2}{k+1} \right) $$
$$ = \frac{1}{k+2} + \text{(나)} $$
이다.

자연수 $k$에 대하여 $\frac{2}{k+1} \le 1$이므로 $\text{(나)} \le \frac{1}{k+2}$이고
$$ a_{k+1} < \frac{2}{k+2} $$
이다.
따라서 $n = k+1$일 때도 주어진 부등식은 성립한다.
그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? (3점)
(가)              (나)
① $\frac{1}{k+2}$     $\frac{1}{(k+1)(□□□□)}$

Qanda AI · Answer

문제에서 자연수 $n$에 대해 $a_n = \frac{1! + 2! + 3! + \dots + n!}{(n+1)!}$이라 할 때, 귀납법을 통해 $a_n < \frac{2}{n+1}$임을 보이는 과정에서 $a_{k+1}$을 변형하면

$
\(a_{k+1} = \frac{1! + 2! + \dots + (k+1)!}{(k+2)!} = \frac{1}{k+2} \bigl(1 + a_k\bigr).$

여기서 $a_k < \frac{2}{k+1}$를 이용하면

$
\(a_{k+1} < \frac{1}{k+2}\Bigl(1 + \frac{2}{k+1}\Bigr) = \frac{1}{k+2} + \frac{2}{(k+1)(k+2)}.$

따라서 (가)는 **$\frac{1}{k+2}$**, (나)는 **$\frac{2}{(k+1)(k+2)}$**가 되어야 하고, 주어진 보기 중 2번이 정답이다

문제 이해