질문
문제 이해
3
1부터 6까지의 자연수가 하나씩 적힌 카드가 각각 2장씩 있다. 이 12장의 카드를 모두 일렬로 나열하려고 할
때, 서로 이웃한 카드에 적힌 두 수의 최대공약수가 항상 5의 약수가 되도록 나열하는 경우의 수는?
(단, 같은 숫자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)
1 □ □ □ □ □
풀이 전략
서로 이웃한 두 수의 최대공약수가 항상 1 또는 5가 되도록 만들기 위해서는 GCD 조건에 따라 허용되는 인접 쌍을 분석하고, 카드들을 적절히 나열해야 한다.
풀이
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유사 문제와 풀이
5
중복 없이 20개 중 3개를 고르는 조합의 가짓수는 조합 공식 \(\binom{20}{3}\)을 사용하여 구한다.
\(\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!\cdot17!} = 1140\)
세 수의 합이 홀수가 되려면, (1) 홀수 3개를 고르거나 (2) 홀수 1개와 짝수 2개를 고르는 경우를 생각해야 합니다.
홀수 카드가 5장, 짝수 카드가 5장이므로,
(1) 홀수 3개를 고르는 경우의 수: \(\binom{5}{3} = 10\)
3의 배수는 3, 6, 9로 총 3개이고, 5의 배수는 5, 10으로 총 2개이다. 이때 3과 5의 배수가
Step1. 첫 자리가 1 또는 2일 때
첫 자리를 1 또는 2로 두면 자동으로
Step1. 최종 합의 짝수 조건
처음 카드 합은 \(21\)로 홀수이다