질문
문제 이해
한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\)인 정삼각형 \(A_1B_1C_1\)이 있다. 그림과 같이
\(\angle A_1B_1C_1\)의 이등분선과 \(\angle A_1C_1B_1\)의 이등분선이 만나는 점을 \(A_2\)
라 하자. 두 선분 \(B_1A_2\), \(C_1A_2\)를 각각 지름으로 하는 반원의 내부와
정삼각형 \(A_1B_1C_1\)의 내부의 공통부분인 □ 모양의 도형에 색칠
하여 얻은 그림을 \(R_1\)이라 하자.
그림 \(R_1\)에서 점 \(A_2\)를 지나고 선분 \(A_1B_1\)에 평행한 직선이 선분
\(B_1C_1\)과 만나는 점을 \(B_2\), 점 \(A_2\)를 지나고 선분 \(A_1C_1\)에 평행한 직
선이 선분 \(B_1C_1\)과 만나는 점을 \(C_2\)라 하자. 그림 \(R_1\)에 정삼각형
\(A_2B_2C_2\)를 그리고, 그림 \(R_1\)을 얻는 것과 같은 방법으로 정삼각형
\(A_2B_2C_2\)의 내부에 □ 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그
림을 \(R_2\)라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, \(\lim_{n\to\infty} S_n\)의 값은? (4점)
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풀이 전략
이 문제는 원과 정삼각형의 성질을 이용하여 각 단계에서 추가되는 부채꼴 부분의 넓이를 추적한 뒤, 무한히 반복할 때 수렴하는 넓이를 구하는 것이 핵심이다.
풀이
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