질문
문제 이해
#1. [2022학년도 대학수학능력시험 예시문항 26번(미적분)]
그림과 같이 \(OA_1 = \sqrt{3}\), \(OC_1 = 1\)인 직사각형 \(OA_1B_1C_1\) 이 있다. 선분 \(B_1C_1\) 위의
\(B_1D_1 = 2C_1D_1\)인 점 \(D_1\)에 대하여 중심이 \(B_1\)이고 반지름의 길이가 \(B_1D_1\)인 원과 선분 \(OA_1\)의
교점을 \(E_1\), 중심이 \(C_1\)이고 반지름의 길이가 \(C_1D_1\)인 원과 선분 \(OC_1\)의 교점을 \(C_2\)라 하자.
부채꼴 \(B_1D_1E_1\)의 내부와 부채꼴 \(C_1C_2D_1\)의 내부로 이루어진 □ 모양의 도형에 색칠하여 얻
은 그림을 \(R_1\)이라 하자.
그림 \(R_1\)에서 선분 \(OA_1\) 위의 점 \(A_2\), 호 \(D_1E_1\) 위의 점 \(B_2\)와 점 \(C_2\), 점 O를 꼭짓점으로 하
는 직사각형 \(OA_2B_2C_2\)를 그리고, 그림 \(R_1\)을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 \(OA_2B_2C_2\)에
□ 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 \(R_2\)라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할
때, \(\lim_{n \to \infty} S_n\)의 값은? [3점]
풀이 전략
문제를 풀기 위해서는 각 단계에서 만들어지는 ㄱ 모양 도형의 넓이가 직사각형 전체 넓이에 대해 일정한 비율을 차지함을 찾아야 합니다. 그런 다음 등비급수를 통해 무한히 반복했을 때의 전체 색칠 영역의 극한값을 구할 수 있습니다.
풀이
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