질문
문제 이해
1012
이차함수 \(y = 3x^2 - 2x + k\)의 그래프가 제4사분면을 지나지 않도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범□□□□□.
풀이 전략
꼭짓점(최솟값)을 이용하여 그래프가 x>0에서 음수가 되지 않도록 검사합니다. 꼭짓점을 통해 이차함수가 제4사분면에 들어가지 않는 조건을 찾는 것이 핵심입니다.
풀이
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유사 문제와 풀이
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Step1. x<0 구간 분석
x<0에서 분모가 음수이므로, 분자를 양수로 유지해
위로 볼록인 이차함수의 그래프가 항상 x축 위에 있으려면, 판별식
\(
\Delta = b^2 - 4ac
\)
이 0보다 작아야 합니다. 여기서
\(
y = x^2 - 2kx + (2k + 3)
\)
일 때, \(a = 1\), \(b = -2k\), \(c = 2k + 3\)
이므로 판별식은
\(
\Delta = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k + 3) = 4k^2 - 8k - 12.
\)
이차함수 y = x^2 + 6x - 1 + k가 x축과 만난다는 것은 방정식
\( x^2 + 6x - 1 + k = 0 \)
이 실근을 갖는다는 의미입니다. 따라서 판별식 \(\Delta\)이 0 이상이어야 하므로,
\[\Delta =
Step1. 판별식을 이용하여 근이 없는 조건 만들기
이차함수에서 a = -\(\frac{1}{3}\),
Step1. 이차방정식 세우기
두 식을 같게 하여
\( x^2 + 4x + 2 = x + k \)