질문
문제 이해
그림과 같이 원에 내접하고 한
변의 길이가 \(2\sqrt{3}\)인 정삼각형
ABC가 있다. 점 B를 포함하
지 않는 호 AC 위의 점 P에 대
하여 \(\angle PBC = \theta\)라 하고, 선분
PC를 한 변으로 하는 정삼각형
에 내접하는 원의 넓이를 \(S(\theta)\)
라 하자. \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{S(\theta)}{\theta^2} = \) □□□□□
풀이 전략
먼저 Inradius를 이용해 PC를 변으로 하는 정삼각형의 내접원 넓이 공식을 구한다. 이후 θ가 0에 매우 가깝다고 볼 때 PC의 길이를 θ에 대한 작은 양으로 근사하여 S(θ)를 구하고, 이를 θ²로 나누어 극한을 취한다.
풀이
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\( A=(0, \sqrt{3}), \; B=\left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \; C=\left(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)