질문
문제 이해
다음 이차방정식 중 근의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는?
① \(x^2 - 8x + 5 = 0\)
② \(2x^2 - 9x - 3 = 0\)
③ \(3x^2 + 4x - 1 = 0\)
④ \(4x^2 + 2x - 1 = □\)
풀이
Integer a semper turpis. Morbi ut leo in metus hendrerit aliquam et nec tortor. Morbi mollis aliquet tempor. Donec condimentum lacinia libero, vel feugiat dui lacinia nec. Morbi vel mauris in ex pretium gravida quis vel diam. Quisque porta nulla at elementum elementum. Vivamus rhoncus lectus id diam consectetur posuere.
Quisque vehicula est ut condimentum viverra. Quisque ut nibh aliquet, egestas urna sit amet, malesuada leo. Ut auctor iaculis quam ac ultricies. Curabitur a mi sem.
Quisque aliquet viverra orci et mollis. Pellentesque neque mauris, bibendum sed auctor id, vulputate eu orci. Ut egestas laoreet sem, sit amet consequat eros malesuada quis. Etiam tempus dictum lacus, vel ullamcorper nisi laoreet at. Donec eu mauris non arcu volutpat interdum. Nulla sagittis erat ut auctor sollicitudin. Pellentesque vulputate feugiat eleifend. Quisque ullamcorper venenatis leo vel gravida. Nam eu semper leo.
유사 문제와 풀이
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이차방정식의 근의 개수는 판별식 \(D=b^2-4ac\)의 부호로 결정됩니다. \(D>0\)이면 서로 다른 두 실근, \(D=0\)이면 중근, \(D<0\)이면 실근이 없습니다.
(1) \(x^2 - 1 = 0\)에서 \(D = (-0)^2 - 4(1)(-1) = 4 > 0\) → 실근 2개
(2) \(x^2 - 4x + 2 = 0\)에서 \(D = (-4)^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8 > 0\) → 실근 2개
(3) \(2x^2 - 7x + 3 = 0\)
이차방정식 x^2 - 5x + k + 1 = 0에서, 실근을 갖기 위한 조건은 판별식 b^2 − 4ac가 0 이상이어야 한다. 여기서 a=1, b=−5, c=k+1이므로 판별식은\(25−4(k+1)=21−4k\)
중근을 가지려면 판별식이 0이 되어야 하므로,
\(\Delta = a^2 - 4\times 2 \times 2 = a^2 - 16 = 0\)
각 식에 \(x=-2\)를 대입해 보면:
(1) \((-2+1)(-2+2)=(-1)(0)=0\)
(2) \(-(-2)^2+4=-4+4=0\)
(3) \(3(-2)^2+5(-2)-2=12-10-2=0\)
(4) \((-2)^2+4(-2)+4=4-8+4=0\)
해설
f(x)=0의 두 근을 \(\alpha\)와 \(\beta\)라 하면, \(\alpha + \beta = 4\)이다.
만약 \(f(2x+1) = 0\)의 해를 \(x_1, x_2\)라 하면, \(2x_1+1 = \alpha\), \(2x_2+1 = \beta\)를 만족한다. 따라서
\(
x_1 = \frac{\alpha - 1}{2}, \quad x_2 = \frac{\beta - 1}{2}.
\)