벡터 기초 정리: 개념, 연산, 내적까지

벡터는 크기와 방향을 동시에 나타내는 수학적 도구예요. 고등 수학 기하 영역의 핵심이자 수능 선택과목으로, 공간 기하와 물리학의 기초가 되는 개념이에요.

벡터의 개념

벡터란 무엇인가

벡터(vector)는 크기와 방향을 동시에 가지는 양이에요. 화살표로 표현하며, 시작점 $A$에서 끝점 $B$로 향하는 벡터를 $\vec{AB}$로 나타내요.

벡터의 같음 조건

두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$가 같으려면 크기와 방향이 모두 같아야 해요. 위치는 상관없어요.

벡터의 연산

Step 1: 벡터의 덧셈과 뺄셈

두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 덧셈은 평행사변형 법칙 또는 삼각형 법칙으로 구해요.

성분으로 표현하면:

$\vec{a} = (a_1, a_2), \quad \vec{b} = (b_1, b_2)$

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$

$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$

Step 2: 스칼라배 (실수배)

실수 $k$에 대해:

$k\vec{a} = (ka_1, ka_2)$

• $k > 0$: 같은 방향, 크기 $|k|$배
• $k < 0$: 반대 방향, 크기 $|k|$배
• $k = 0$: 영벡터 $\vec{0}$

Step 3: 벡터의 크기

$\vec{a} = (a_1, a_2)$의 크기:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

크기가 1인 벡터를 단위벡터라고 해요.

심화: 벡터의 내적

내적의 정의

두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 내적은 두 가지 방법으로 계산해요:

방법 1 — 각도 이용

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

방법 2 — 성분 이용

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

내적의 활용

• 수직 판별: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$
• 각도 구하기: $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
• 정사영: $\vec{a}$ 위로의 $\vec{b}$의 정사영 길이 = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}$

예제

예제 1: 내적 계산

문제: $\vec{a} = (3, 4)$, $\vec{b} = (-1, 2)$일 때, $\vec{a} \cdot \vec{b}$와 두 벡터 사이의 각도 $\theta$를 구하세요.

예제 2: 수직 조건 활용

문제: $\vec{a} = (2, k)$와 $\vec{b} = (3, -6)$이 수직일 때, $k$의 값을 구하세요.

자주 하는 실수 TOP 3

1. 벡터의 크기를 단순 덧셈으로 계산 — $|\vec{a} + \vec{b}|$를 구할 때 $|\vec{a}| + |\vec{b}|$로 처리하면 안 돼요. 반드시 성분을 더한 후 크기를 구하세요.
2. 내적 결과를 벡터로 오해 — 내적 $\vec{a} \cdot \vec{b}$의 결과는 스칼라(숫자)이지 벡터가 아니에요.
3. 영벡터 처리 누락 — $\vec{a} = \vec{0}$일 때 방향이 정의되지 않아요. 수직·평행 판별 시 영벡터 예외를 체크하세요.

관련 개념 더 보기

• 피타고라스 정리 — 기하 기초
• 극한 — 수학II 연결
• 이차함수 — 함수 활용