연립방정식미지수가 2개, 식도 2개. 연립방정식은 두 조건을 동시에 만족하는 값을 찾는 문제예요.
💡핵심 포인트: 연립방정식은 중학교 2학년 중간고사 핵심 단원이에요. 대입법과 가감법 두 가지 풀이법을 확실하게 익히면 시험에서 빠르고 정확하게 풀 수 있어요!
연립방정식이란?
정의와 기본 원리
두 개 이상의 방정식을 한 쌍으로 목어 동시에 푸는 것을 연립방정식이라고 해요.
{2x+y=5x−y=1 이 연립방정식의 해는 x=2, y=1 이에요. 두 식에 모두 대입해보면 맞는지 확인할 수 있어요.
풀이법 2가지
| 방법 | 핵심 아이디어 | 적합한 경우 |
|---|
| 대입법 | 한 식을 정리해서 다른 식에 대입 | 한 미지수의 계수가 1일 때 |
| 가감법 | 두 식을 더하거나 빼서 미지수 제거 | 계수를 맞추기 쉬울 때 |
대입법 풀이 과정
Step 1: 한 식을 한 문자에 대해 정리
{x+2y=7⋯①3x−y=7⋯② ①에서: x=7−2y
Step 2: 다른 식에 대입
②에 대입: 3(7−2y)−y=7
21−6y−y=7⇒−7y=−14⇒y=2 Step 3: 나머지 문자 구하기
x=7−2(2)=3
답: x=3, y=2
가감법 풀이 과정
Step 1: 계수 맞추기
{2x+3y=12⋯①4x−3y=6⋯② y 의 계수가 +3 과 −3 → 더하면 y 가 사라져요!
Step 2: 두 식 더하기 (또는 빼기)
① + ②: 6x=18 → x=3
Step 3: 나머지 문자 구하기
①에 대입: 2(3)+3y=12 → y=2
⚠️주의: 가감법에서 계수를 맞출 때 모든 항에 골고루 곱하는 것을 잊지 마세요! 2x+y=5 에 3을 곱하면 6x+3y=15 이지, 6x+y=15 가 아니에요.
언제 대입법? 언제 가감법?
- 계수가 1인 항이 있으면 → 대입법이 편리
- 계수가 같거나 배수 관계면 → 가감법이 편리
- 애매하면 → 가감법 우선 (더 단순한 경우가 많음)
예제로 연습하기
예제 1: 대입법
{y=2x−13x+y=9 를 풀어보세요.
풀이 보기
①을 ②에 대입: 3x+(2x−1)=9
5x=10 → x=2
y=2(2)−1=3
답: x=2, y=3
예제 2: 가감법
{3x+2y=113x−y=5 를 풀어보세요.
풀이 보기
① - ②: 3y=6 → y=2
②에 대입: 3x−2=5 → x=37
답: x=37, y=2
예제 3: 활용 — 수 문제
두 수의 합이 15이고, 차가 3일 때 두 수를 구하세요.
풀이 보기
두 수를 x, y (x>y) 로 놓으면:
{x+y=15x−y=3
더하면: 2x=18 → x=9, y=6
📝연습 팁: 풀이 후 반드시 두 식 모두에 대입해서 검산하는 습관을 들이세요. 한 식만 맞으면 소용없어요!
자주 하는 실수 TOP 3
- 가감법에서 계수 곱할 때 일부 항만 곱함 — 모든 항에 골고루 곱해야 해요
- 부호 실수 — 빼기할 때 부호가 바뀌는 것을 놓치는 경우
- 검산 안 함 — 두 식 모두에 대입해서 확인하는 것 필수!
관련 개념 더 보기
- 일차방정식의 기초
- 일차함수의 그래프
- 부등식과 연립부등식
- 연립방정식 활용 문장제
