피타고라스 정리 완벽 정리: 공식, 증명, 활용까지

2026.04.24

by QANDA

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변의 관계를 설명하는 수학의 가장 유명한 정리예요. 중학교 3학년에서 처음 배우지만, 고등 수학과 수능까지 계속 사용되는 핵심 도구예요.

💡

피타고라스 정리는 도형, 좌표기하, 벡터 등 거의 모든 기하 문제의 기초가 돼요. 공식 하나로 거리, 높이, 대각선 문제를 전부 해결할 수 있어요.

피타고라스 정리란

정의와 공식

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 정리예요.

직각삼각형의 두 직각변의 길이가 $a$ , $b$ 이고 빗변의 길이가 $c$ 일 때:

$a^2 + b^2 = c^2$

직각삼각형의 각 부분

용어	설명	특징
직각변	직각을 끼고 있는 두 변	$a$ , $b$
빗변 (hypotenuse)	직각의 맞은편 변	$c$ (항상 가장 긴 변)

피타고라스 정리의 증명

Step 1: 넓이를 이용한 증명 (유클리드 증명)

한 변의 길이가 $(a + b)$ 인 정사각형 안에 직각삼각형 4개를 배치하면:

큰 정사각형의 넓이 = 삼각형 4개의 넓이 + 가운데 정사각형의 넓이

$(a + b)^2 = 4 \times \frac{1}{2}ab + c^2$

Step 2: 전개하고 정리하기

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

양변에서 $2ab$ 를 빼면:

$a^2 + b^2 = c^2$

⚠️

피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립해요. 예각삼각형이나 둘각삼각형에는 적용할 수 없으니 반드시 직각인지 확인하세요!

심화: 피타고라스 정리의 활용

두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

이 공식은 피타고라스 정리에서 직접 유도된 것이에요.

특수한 직각삼각형

시험에 자주 나오는 직각삼각형의 변의 비율:

이름	변의 비	각도
피타고라스 수 3-4-5	$3 : 4 : 5$	직각삼각형
이등변 직각삼각형	$1 : 1 : \sqrt{2}$	$45°$ - $45°$ - $90°$
정삼각형 반	$1 : \sqrt{3} : 2$	$30°$ - $60°$ - $90°$

예제

예제 1: 빗변의 길이 구하기

문제: 직각삼각형의 두 직각변의 길이가 6cm, 8cm일 때, 빗변의 길이를 구하세요.

풀이 보기

피타고라스 정리를 적용해요:

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$

답: $10$ cm

예제 2: 직각삼각형 판별

문제: 세 변의 길이가 5, 12, 13인 삼각형이 직각삼각형인지 판별하세요.

풀이 보기

가장 긴 변(13)을 빗변으로 놓고 확인해요:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$

$a^2 + b^2 = c^2$ 이 성립하므로 직각삼각형이에요.

답: 직각삼각형이다

📝

피타고라스 수(3-4-5, 5-12-13, 8-15-17)를 외워두면 빠르게 판별할 수 있어요. 배수 관계(6-8-10, 9-12-15 등)도 함께 익혀두세요.

자주 하는 실수 TOP 3

빗변을 직각변로 착각 — $c$ 는 항상 가장 긴 변(빗변)이에요. 문제에서 가장 긴 변을 먼저 찾고 그것을 $c$ 에 대입하세요.
제곱근 처리 누락 — $c^2 = 100$ 에서 $c = \pm 10$ 이 아니라 $c = 10$ (길이는 양수). 음수 해를 쓰지 않도록 주의하세요.
직각 확인 없이 적용 — 피타고라스 정리는 직각삼각형에만 성립해요. 문제에 "직각"이라는 조건이 있는지 반드시 확인하세요.