적분 기초 정리: 부정적분부터 정적분까지

2026.04.14

by QANDA

미분의 역연산, 적분. 넓이를 구하고, 축적량을 계산하는 강력한 도구예요.

💡

핵심 포인트: 적분은 수능 수학에서 2~4문제가 출제되며, 넓이·속도·거리 문제의 기초가 됩니다. 미분을 먼저 마스터하고 오세요!

적분이란?

정의와 기본 원리

미분의 역과정으로, 도함수가 $f(x)$ 인 함수 $F(x)$ 를 찾는 것을 적분이라고 해요.

F'(x) = f(x) \quad \Rightarrow \quad \int f(x)\,dx = F(x) + C

여기서 $C$ 는 적분상수예요. 미분하면 상수가 사라지니까, 적분할 때 다시 더해줘야 해요.

부정적분 vs 정적분

구분	부정적분	정적분
표기	$\int f(x)\,dx$	$\int_a^b f(x)\,dx$
결과	함수 + C	숫자 (확정값)
의미	역도함수 찾기	넓이 계산

기본 적분 공식

함수	적분
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$

적분 계산 방법

다항식 적분

각 항을 하나씩 적분하면 돼요.

\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C

치환 적분

합성함수의 적분에서 사용해요. 안쪽 함수를 $t$ 로 치환!

\int 2x(x^2+1)^3\,dx

$t = x^2 + 1$ , $dt = 2x\,dx$ 로 놓으면:

\int t^3\,dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C

정적분 계산

역도함수를 구한 뒤 윗끝 − 아랫끝 계산:

\int_1^3 2x\,dx = \left[x^2\right]_1^3 = 9 - 1 = 8

⚠️

주의: 부정적분에서 적분상수

C

를 빼먹는 실수가 매우 많아요. 정적분에서는

C

가 상쇄되어 안 써도 되지만, 부정적분에서는 반드시 써야 해요!

적분의 활용

곡선과 x축 사이의 넓이

$y = f(x)$ 와 x축 사이 넓이 ( $a \leq x \leq b$ ):

S = \int_a^b |f(x)|\,dx

절댓값을 쓰는 이유: x축 아래 부분은 음수로 나오기 때문!

두 곡선 사이 넓이

S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

예제로 연습하기

예제 1: 부정적분

$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$ 를 구하세요.

풀이 보기

\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C

예제 2: 정적분

$\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$ 를 구하세요.

풀이 보기

\left[x^3 + x\right]_0^2 = (8 + 2) - (0 + 0) = 10

예제 3: 넓이 구하기

$y = x^2$ 와 x축 사이, $0 \leq x \leq 2$ 의 넓이를 구하세요.

풀이 보기

$x^2 \geq 0$ 이므로 절댓값 필요 없음:

S = \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}

📝

연습 팁: 넓이 문제에서 그래프가 x축 아래로 내려가는 구간이 있는지 항상 확인하세요. 있으면 구간을 나눠서 절댓값을 적용해야 해요!

자주 하는 실수 TOP 3

부정적분에서 적분상수 $C$ 누락 — 감점 확정, 반드시 쓰세요
넓이 구할 때 절댓값 빠뜨림 — x축 아래 부분을 음수 그대로 계산하면 넓이가 상쇄됨
치환 적분 후 역치환 누락 — $t$ 로 적분한 후 원래 변수로 되돌리는 것 잊지 마세요

적분 기초 정리: 부정적분부터 정적분까지

적분이란?

정의와 기본 원리

부정적분 vs 정적분

기본 적분 공식

적분 계산 방법

다항식 적분

치환 적분

정적분 계산

적분의 활용

곡선과 x축 사이의 넓이

두 곡선 사이 넓이

예제로 연습하기

예제 1: 부정적분

예제 2: 정적분

예제 3: 넓이 구하기

자주 하는 실수 TOP 3

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