인수분해 수학 개념중간고사 단골 출제 주제, 인수분해. 공식만 확실히 외우면 어떤 다항식이든 깔끔하게 분해할 수 있어요.
💡핵심 포인트: 인수분해는 중3~고1 수학의 핵심이자 이차방정식, 부등식, 함수 문제의 출발점이에요. 중간고사에서 배점이 높은 단원이니 공식을 반드시 숙지하세요!
인수분해란?
정의와 기본 원리
다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 해요.
x2+5x+6=(x+2)(x+3) 전개(곱셈 → 풀어쓰기)의 역과정이라고 생각하면 쉬워요.
인수분해 공식 5가지
| 공식 | 형태 | 예시 |
|---|
| 공통인수 | ma+mb=m(a+b) | 2x2+4x=2x(x+2) |
| 합차공식 | a2−b2=(a+b)(a−b) | x2−9=(x+3)(x−3) |
| 완전제곱식 ① | a2+2ab+b2=(a+b)2 | x2+6x+9=(x+3)2 |
| 완전제곱식 ② | a2−2ab+b2=(a−b)2 | x2−10x+25=(x−5)2 |
| x2 의 계수가 1 | x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) | x2+7x+12=(x+3)(x+4) |
공식별 풀이법
1단계: 공통인수 먼저 찾기
항상 공통인수를 먼저 빼내세요. 나머지 식이 훨씬 간단해져요.
6x3−12x2+6x=6x(x2−2x+1)=6x(x−1)2 2단계: 항의 개수로 판단
- 2항 → 합차공식 a2−b2 확인
- 3항 → 완전제곱식 또는 (x+a)(x+b) 형태 확인
- 4항 이상 → 묶기(그룹화) 시도
3단계: 치환 인수분해 (고1)
복잡한 식은 일부를 새 문자로 치환하면 익숙한 형태가 돼요.
(x2+x)2−2(x2+x)−8 t=x2+x 로 놓으면:
t2−2t−8=(t−4)(t+2)=(x2+x−4)(x2+x+2) ⚠️주의: 치환 후 반드시 원래 문자로 역치환하는 것을 잊지 마세요! 시험에서 역치환 안 해서 감점당하는 경우가 매우 많아요.
인수분해 판별 순서도
어떤 공식을 써야 할지 헷갈릴 때, 이 순서대로 체크하세요:
- 공통인수가 있는가? → 있으면 먼저 빼기
- 항이 2개인가? → 합차공식 a2−b2 확인
- 항이 3개인가? → 완전제곱식 또는 곱셈 분해
- 항이 4개 이상인가? → 그룹화 후 공통인수 찾기
- 위 모두 안 되면 → 치환 시도
예제로 연습하기
예제 1: 완전제곱식
4x2+12x+9 를 인수분해하세요.
풀이 보기
4x2=(2x)2, 9=32, 12x=2×2x×3
완전제곱식이므로:
4x2+12x+9=(2x+3)2 예제 2: 합차공식 응용
16a2−25b2 를 인수분해하세요.
풀이 보기
16a2=(4a)2, 25b2=(5b)2
16a2−25b2=(4a+5b)(4a−5b) 예제 3: 공통인수 + 곱셈 분해
3x2+15x+18 을 인수분해하세요.
풀이 보기
공통인수 3을 먼저 빼면:
3x2+15x+18=3(x2+5x+6)=3(x+2)(x+3) 📝연습 팁: 인수분해는 "거꾸로 전개해서 맞는지 검산"하는 습관이 중요해요. 인수분해 결과를 다시 전개해서 원래 식이 나오면 정답!
자주 하는 실수 TOP 3
- 공통인수를 빼지 않고 바로 공식 적용 — 항상 공통인수부터 확인하세요
- 부호 실수 — 특히 a2−2ab+b2=(a−b)2 에서 마이너스 처리 주의
- 치환 후 역치환 누락 — 답에 치환 문자 t 가 남아있으면 0점이에요
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