미분 그래프함수의 변화율을 구하는 미분. 미적분의 첫 번째 관문이자 수능 수학의 핵심이에요.
💡핵심 포인트: 미분은 수능에서 매년 3~5문제가 출제되며, 접선의 기울기·속도·극값 문제의 기초가 됩니다.
미분이란?
정의와 기본 원리
함수 f(x) 의 순간변화율을 구하는 연산을 미분이라고 해요.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x) 이것을 미분계수 또는 도함수라고 부르며, 그래프 위 한 점에서의 접선의 기울기를 의미해요.
기본 미분 공식
| 함수 | 도함수 | 예시 |
|---|
| c (상수) | 0 | (5)′=0 |
| xn | nxn−1 | (x3)′=3x2 |
| cf(x) | cf′(x) | (3x2)′=6x |
| f(x)+g(x) | f′(x)+g′(x) | (x2+3x)′=2x+3 |
| f(x)⋅g(x) | f′g+fg′ | 곱의 미분 |
| g(x)f(x) | g2f′g−fg′ | 몫의 미분 |
미분 계산 방법
다항식 미분
각 항을 하나씩 미분하면 돼요.
f(x)=2x3−5x2+4x−1 f′(x)=6x2−10x+4 곱의 미분법
두 함수의 곱을 미분할 때 사용해요.
{f(x)⋅g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 예: (x2⋅sinx)′=2xsinx+x2cosx
합성함수 미분 (연쇄법칙)
함수 안에 함수가 있을 때 사용해요. 바깥 미분 × 안쪽 미분이 핵심!
{f(g(x))}′=f′(g(x))⋅g′(x) 예: ((2x+1)5)′=5(2x+1)4⋅2=10(2x+1)4
⚠️주의: 합성함수 미분에서 안쪽 함수의 미분을 빠뜨리는 실수가 가장 많아요. (2x+1)5 을 미분할 때 뒤에 ×2 를 꼭 붙여야 해요!
미분의 활용
접선의 방정식
점 (a,f(a)) 에서의 접선:
y−f(a)=f′(a)(x−a) 함수의 증가·감소
- f′(x)>0 → 증가
- f′(x)<0 → 감소
- f′(x)=0 → 극값 후보
극대·극소
f′(x)=0 인 점에서 부호가 바뀌면:
예제로 연습하기
예제 1: 다항식 미분
f(x)=x4−4x3+2 일 때 f′(x) 를 구하세요.
풀이 보기
f′(x)=4x3−12x2 예제 2: 접선의 기울기
f(x)=x2−3x+1 에서 x=2 일 때 접선의 기울기를 구하세요.
풀이 보기
f′(x)=2x−3
f′(2)=2(2)−3=1
따라서 접선의 기울기는 1
예제 3: 극값 찾기
f(x)=x3−3x+2 의 극대와 극소를 구하세요.
풀이 보기
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)=0
x=−1 또는 x=1
x=−1 : f′ 부호 + → − → 극대, f(−1)=4x=1 : f′ 부호 − → + → 극소, f(1)=0📝연습 팁: 극값 문제는 f′(x)=0 푸는 것에서 끝나지 않아요. 반드시 부호 변화를 확인해서 극대인지 극소인지 판단해야 해요!
자주 하는 실수 TOP 3
- 합성함수 미분에서 안쪽 함수 미분 누락 — (3x+1)4 미분 시 ×3 빠뜨리면 감점
- 상수항 미분을 0으로 안 쓰고 생략 — (x2+5)′=2x+0 에서 0을 명시하는 습관
- 극값 판정 시 부호 변화 미확인 — f′(x)=0 인 점이 항상 극값인 것은 아니에요
관련 개념 더 보기
- 적분의 기본 개념
- 삼각함수 미분
- 지수함수·로그함수 미분
- 수능 미분 기출 유형 분석
