경우의 수 완벽 정리: 합의 법칙부터 순열·조합까지

2026.04.24

by QANDA

경우의 수는 확률의 기초가 되는 개념으로, 중학교 2학년부터 배우기 시작해 고등 수학 확률과 통계까지 이어지는 핵심 단원이에요.

💡

경우의 수는 확률 문제의 출발점이에요. 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열과 조합의 차이만 확실히 구분하면 대부분의 문제를 해결할 수 있어요.

경우의 수의 기초

경우의 수란

경우의 수는 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 가능한 결과의 수를 뜻해요. 예를 들어 주사위 하나를 던지면 경우의 수는 6가지예요.

합의 법칙 vs 곱의 법칙

구분	합의 법칙	곱의 법칙
상황	두 사건이 동시에 일어나지 않을 때	두 사건이 연달아 일어날 때
키워드	"또는", "이거나 저거나"	"그리고", "연속으로"
연산	$m + n$	$m \times n$

순열과 조합

Step 1: 순열 (Permutation)

순열은 $n$ 개에서 $r$ 개를 뽑아 순서대로 나열하는 경우의 수예요.

$_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

예: 5명 중 회장, 부회장을 뽑는 경우의 수

$_5P_2 = 5 \times 4 = 20$

Step 2: 조합 (Combination)

조합은 $n$ 개에서 $r$ 개를 순서 없이 뽑는 경우의 수예요.

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{_nP_r}{r!}$

예: 5명 중 대표 2명을 뽑는 경우의 수

$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Step 3: 순열 vs 조합 구분법

핵심 판단 기준: 순서가 의미가 있는가?

"자리 배치", "번호 부여", "등수 매기기" → 순열
"팀 구성", "대표 선발", "먼저 뽑기" → 조합

⚠️

순열과 조합을 헷갈리는 게 가장 흔한 실수예요. "순서가 있으면 P, 없으면 C"를 반드시 먼저 판단하세요!

심화: 특수한 경우의 수

같은 것이 있는 순열

$n$ 개 중 같은 것이 각각 $p$ 개, $q$ 개, $r$ 개 있을 때:

$\frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r!}$

예: "APPLE"의 문자를 나열하는 경우의 수 (P가 2개)

$\frac{5!}{2!} = 60$

원순열

$n$ 개를 원형으로 나열하는 경우의 수:

$(n-1)!$

예제

예제 1: 합의 법칙과 곱의 법칙

문제: 서울에서 부산까지 기차 3편, KTX 5편이 있다. 서울에서 부산까지 가는 방법의 수와, 왕복하는 방법의 수를 구하세요.

풀이 보기

가는 방법 (합의 법칙):

기차 또는 KTX 중 하나를 선택하므로:

$3 + 5 = 8\text{가지}$

왕복하는 방법 (곱의 법칙):

가는 것과 오는 것이 연달아 일어나므로:

$8 \times 8 = 64\text{가지}$

답: 편도 8가지, 왕복 64가지

예제 2: 순열과 조합

문제: 7명의 학생 중에서 (1) 3명을 한 줄로 세우는 경우의 수와, (2) 3명으로 팀을 구성하는 경우의 수를 구하세요.

풀이 보기

(1) 한 줄로 세우기 (순서 있음 → 순열):

$_7P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(2) 팀 구성하기 (순서 없음 → 조합):

$_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

답: (1) 210, (2) 35

📝

경우의 수 문제를 풀 때는 항상 작은 예시로 먼저 확인하세요. 3명에서 2명 뽑는 것처럼 직접 나열해보면 순열/조합 구분이 명확해져요.

자주 하는 실수 TOP 3

순열과 조합 혼동 — "선발"은 조합이지만 "자리 배치"는 순열이에요. 순서가 결과에 영향을 주는지 판단하세요.
합의 법칙과 곱의 법칙 혼동 — "또는"은 덧셈, "그리고"는 곱셈. 문제의 키워드를 정확히 파악하세요.
팩토리얼 계산 실수 — $0! = 1$ 이에요. $_nC_0 = 1$ , $_nC_n = 1$ 을 잊지 마세요.