질문
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문제 이해

그림과 같이 중심이 O, 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\)인 부채꼴 OAB₁이 있다. 호 A₁B₁ 위에 점 P₁, 선분 OA₁ 위에 점 C₁, 선분 OB₁ 위에 점 D₁을 사각형 OC₁P₁D₁이 OC₁:OD₁=3:4인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 OA₁B₁의 내부에 점 Q₁을 PQ₁=AQ₁, ∠P₁Q₁A₁=\(\frac{\pi}{2}\)가 되도록 잡고, 이등변삼각형 P₁Q₁A₁에 색칠하여 얻은 그림을 R₁이라 하자. 그림 R₁에서 선분 OA₁ 위의 점 A₂와 선분 OB₁ 위의 점 B₂를 OQ₁=OA₂=OB₂가 되도록 잡고, 중심이 O, 반지름의 길이가 OQ₁, 중심각의 크기가 \(\frac{\pi}{2}\)인 부채꼴 OAB₂를 그린다. 그림 R₁을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 P₂, C₂, D₂, Q₂를 잡고, 이등변삼각형 P₂Q₂A₂에 색칠하여 얻은 그림을 R₂라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 \(R_n\)에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때, … □의 값

풀이 전략

이 문제는 부채꼴에서 반복적으로 생기는 작도 과정을 통해 작은 도형들이 일정한 비율 관계로 축소되어 나타나는 구조를 파악해야 한다. 유사도를 활용하여 각 단계에서 도형의 크기를 추적하고, 무한 급수로 넓이의 합을 구하는 방식으로 접근한다.
풀이
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