다음은-인-자연수-에-대하여-이-무리수임을-증명한-것이다-증명-이-유리수라고-가정하면-는-서로소인-자연수로-놓을-수-있다-이-식의-양변을-제곱하여-정리하면-이다-는-의-약수이고-는

Question

다음은 $n \ge 2$인 자연수 $n$에 대하여 $\sqrt{n^2 - 1}$이 무리수임을 증명한 것이다.

증명

$\sqrt{n^2 - 1}$이 유리수라고 가정하면 $\sqrt{n^2 - 1} = \frac{q}{p}$ ($p$, $q$는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다.
이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $p^2(n^2 - 1) = q^2$이다.
$p^2$는 $q^2$의 약수이고 $p$, $q$는 서로소인 자연수이므로
$n^2 = $ (가) 이다.

자연수 $k$에 대하여

(i) $q = 2k$일 때
$(2k)^2 < n^2 < $ (나) 인 자연수 $n$이 존재하지 않는다.

(ii) $q = 2k + 1$일 때
(다) $< n^2 < (2k + 2)^2$인 자연수 $n$이 존재하지 않는다.

(i)과 (ii)에 의하여 $\sqrt{n^2 - 1} = \frac{q}{p}$ ($p$, $q$는 서로소인 자연수)를 만족하는 자연수 $n$은 존재하지 않는다.
따라서 $\sqrt{n^2 - 1}$은 무리수이다.

위 □□□□□

Qanda AI · Answer

**Step1. (가) 구하기**
sqrt(n^2−1)=q/p를 제곱하면 p^2(n^2−1)=q^2가 된다. p와

문제 이해

풀이 전략