18-다음은-자연수-에-대하여-에-대한-사차방정식-이-서로-다른-네-개의-정수해를-갖도록-하는-20-이하의-모든-의-값을-구하는-과정이다-이라-하자-라-하면-주어진-방정식-은-이고

Question

18. 다음은 자연수 $n$에 대하여 $x$에 대한 사차방정식
$4x^4 - 4(n+2)x^2 + (n-2)^2 = 0$
이 서로 다른 네 개의 정수해를 갖도록 하는 20 이하의
모든 $n$의 값을 구하는 과정이다.
$P(x) = 4x^4 - 4(n+2)x^2 + (n-2)^2$ 이라 하자.
$x^2 = X$라 하면 주어진 방정식 $P(x) = 0$은
$4X^2 - 4(n+2)X + (n-2)^2 = 0$이고
근의 공식에 의해 $X = \frac{n+2 \pm \sqrt{(가)}}{2}$ 이다.
그러므로 $X = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} + 1 \right)^2$ 또는 $X = \left( \sqrt{\frac{n}{2}} - 1 \right)^2$ 에서
$x = \sqrt{\frac{n}{2}} + 1$ 또는 $x = -\sqrt{\frac{n}{2}} - 1$ 또는 $x = \sqrt{\frac{n}{2}} - 1$
또는 $x = -\sqrt{\frac{n}{2}} + 1$ 이다.
방정식 $P(x) = 0$이 정수해를 갖기 위해서는 $\sqrt{\frac{n}{2}}$ 이 자연수가
되어야 한다.
따라서 자연수 $n$에 대하여 방정식 $P(x) = 0$이 서로 다른
네 개의 정수해를 갖도록 하는 20 이하의 모든 $n$의 값은
$□$ $□$ 이다.
위의 (가)에 알맞은 식 $f($□□□□□\)□]

Qanda AI · Answer

**Step1. x^2 = X 로 치환**
주어진 식에서 x^2 를 X 로 두

문제 이해

풀이 전략