좌표평면에서-자연수-에-대하여-곡선-이-x축-y축과-만나는-점을-각각-이라-하자-두-점-을-지나는-직선과-곡선-으로-둘러싸인-영-역경계선-포함에-속하고-x좌표와-y좌표가-모두-자연

Question

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=(x-2n)^2$이 x축, y축과
만나는 점을 각각 $P_n$, $Q_n$이라 하자.
두 점 $P_n$, $Q_n$을 지나는 직선과 곡선 $y=(x-2n)^2$으로 둘러싸인 영
역(경계선 포함)에 속하고 x좌표와 y좌표가 모두 자연수인 점의 개
수를 $a_n$이라 하자. 다음은 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^3}$의 값을 구하는 과정이다.

두 점 $P_n$, $Q_n$을 지나는 직선의 방정식은
$y = $ (가) $x + 4n^2$
이다.

주어진 영역에 속하는 점 중에서 x좌표가 $k$ ($k$는 $2n-1$ 이하
의 자연수)이고 y좌표가 자연수인 점의 개수는 (나) $+2nk$
이므로
$$ a_n = \sum_{k=1}^{2n-1} \left( (나) + 2nk \right) $$
이다.

따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^3} = $ (다) 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$, $g(k)$라 하□□□□□

Qanda AI · Answer

**결과적으로**, 문제에서 구해지는 (다)의 값 p는 4가 되고, 직선의 기울기인 (가)는 -2n이므로 f(n) = -2n 이다. 따라서 f(3) = -6이 된다. g(4)는 문제 조건(영역 내

문제 이해