156-대표-2017실시나-6월교육청-17고2-다음은-인-모든-자연수-에-대하여-부등식-이-성립함을-수학적-귀납법을-이용하여-증명하는-과정이다-증명-주어진-식-의-양변을-로-나누면

Question

156 대표
2017실시(나) 6월/교육청 17(고2)
다음은 $n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식
$$ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \right) (1 + 2 + 3 + \dots + n) > n^2 $$
이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 [증명]하는 과정이다.

[증명]
주어진 식 (\*)의 양변을 $\frac{n(n+1)}{2}$로 나누면
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{2n}{n+1} \dots \dots \dots ① $$
이다. $n \ge 2$인 자연수 $n$에 대하여
(i) $n = 2$일 때,
(좌변) = □, (우변) = $\frac{4}{3}$이므로 ①이 성립한다.
(ii) $n = k$ ($k \ge 2$)일 때, ①이 성립한다고 가정하면
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} > \frac{2k}{k+1} \dots \dots \dots ② $$
이다. ②의 양변에 $\frac{1}{k+1}$을 더하면
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \frac{2k+1}{k+1} $$
이 성립한다. 한편,
$$ \frac{2k+1}{k+1} - \text{(□)} = \frac{k}{(k+1)(k+2)} > 0 $$
이므로
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} > \text{(□)} $$
이다. 따라서 $n = k+1$일 때도 ①이 성립한다.
(i), (ii)에 의하여 $n \ge 2$인 모든 자연수 $n$에 대하여 ①이 성립□□□□□.

Qanda AI · Answer

**Step1. (가)에 해당하는 p 구하기**
n=2일 때의 왼쪽 합은 1 +

문제 이해

풀이 전략