16-모든-자연수-에-대하여-다음-조건을-만족시키는-축-위의-점-과-곡선-위의-점-이-있다-•-선분-과-선분-이-서로-수직이다-•-선분-과-선분-이-서로-수직이다-다음은-점-의-좌

Question

16. 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는
$x$축 위의 점 $P_n$과 곡선 $y = \sqrt{3x}$ 위의 점 $Q_n$이 있다.
• 선분 $OP_n$과 선분 $P_nQ_n$이 서로 수직이다.
• 선분 $OQ_n$과 선분 $Q_nP_{n+1}$이 서로 수직이다.

다음은 점 $P_1$의 좌표가 $(1, 0)$일 때, 삼각형 $OP_{n+1}Q_n$의
넓이 $A_n$을 구하는 과정이다. (단, O는 원점이다.)

$OP_{n+1} = OP_n + P_nP_{n+1}$이므로
모든 자연수 $n$에 대하여 점 $P_n$의 좌표를 $(a_n, 0)$이라 하자.
$$a_{n+1} = a_n + P_nP_{n+1}$$
이다. 삼각형 $OP_nQ_n$과 삼각형 $Q_nP_nP_{n+1}$이 닮음이므로
$$\frac{OP_n}{P_nQ_n} = \frac{P_nQ_n}{P_nP_{n+1}}$$
이고, 점 $Q_n$의 좌표는 $(a_n, \sqrt{3a_n})$이므로
$$P_nP_{n+1} = (\text{가})$$
이다. 따라서 삼각형 $OP_{n+1}Q_n$의 넓이 $A_n$은
$$A_n = \frac{1}{2} \times (\text{나}) \times \sqrt{\text{□}}$$
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Qanda AI · Answer

**Step1. 선분 PₙPₙ₊₁의 길이 p 구하기**
유사삼각형

문제 이해

풀이 전략