질문
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문제 이해

그림과 같이 중심이 O₁, 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 90°인 부채꼴 O₁A₁B₁에서 두 선분 O₁A₁, O₁B₁ 위에 두 점 M₁, O₂ 를 각각 OM₁ = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)O₁A₁, O₁O₂ = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)O₁B₁이 되도록 정하자. 두 점 M₁, O₂와 호 A₁B₁ 위의 두 점 C₁, A₂를 꼭짓점으로 하는 직사각 형 O₂M₁C₁A₂를 그리고, 직사각형 O₂M₁C₁A₂와 삼각형 O₁C₁A₂의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R₁이라 하자. 그림 R₁에 중심이 O₂, 반지름의 길이가 O₂A₂이고 중심각의 크기 가 90°인 부채꼴 O₂A₂B₂를 점 B₂가 부채꼴 O₁A₁B₁의 외부에 있 도록 그리고, 두 선분 O₂A₂, O₂B₂ 위에 두 점 M₂, O₃를 각각 O₂M₂ = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)O₂A₂, O₂O₃ = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)O₂B₂가 되도록 정하자. 두 점 M₂, O₃과 호 A₂B₂ 위의 두 점 C₂, A₃을 꼭짓점으로 하는 직사각형 O₃M₂C₂A₃을 그리고, 직사각형 O₃M₂C₂A₃와 삼각형 O₂C₂A₃의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R₂라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 그림 Rₙ에 색칠되어 □□□□□

풀이 전략

등비수열을 이용하여 각 단계에서 추가되는 도형의 넓이를 구하고, 무한번 반복될 때의 넓이 합을 구한다.
풀이
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