질문
문제 이해
07
2006학년도 교육청
복소수 \(z = \frac{1+i}{1-i}\)에 대하여
\(\frac{1}{z} + \frac{2}{z^2} + \frac{3}{z^3} + ... + \frac{100}{z^{100}} = x + yi\)가 성립할 때, \(x+y\)의 값을 구하시오. (단, \(x\), \(y\)는 □□□□□)
풀이 전략
이 문제를 해결하기 위해 먼저 z의 값을 간단히 정리합니다. 이후 합을 구할 때 i의 거듭제곱이 가질 수 있는 거듭제곱 규칙성을 활용합니다.
풀이
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유사 문제와 풀이
5
Step1. z^2의 형태 확인
z를 지수 형태로 바꾸어
Step1. 허수부를 0으로 만드는 조건 구하기
Step1. 실수부와 허수부 확인
z의 실수부는 \( x^2 - 7x + 10 \)
풀이
복소수 \(z=a+bi\)에서 \(zi\)는 \((a+bi)\times i = ai + b i^2 = -b + ai\) 이다.
따라서 \(z + zi = (a+bi) + (-b+ai) = (a-b) + (b+a)i\) 이고, 문제 조건에 따라 이는 \(5 - 3i\)와 같다.
그러므로 실수부: \(a - b = 5\), 허수부: \(a + b = -3\)
Step1. z² 계산하기
z²를 구하면 실수부와 허수부를 정확히 계산해야 합니다.
\( z = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i \)
이므로,
\( z^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + 2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2} i = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{7}}{2} i \)