질문
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문제 이해

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 A,B,C,D₁이 있다. 세 변 A₁B₁, B₁C₁, D₁A₁의 중점을 각각 E₁, F₁, G₁이라 하자. 선 분 G₁F₁을 지름으로 하고 선분 D₁C₁에 접하는 반원의 호 G₁F₁과 두 선분 G₁E₁, E₁F₁로 둘러싸인 □ 모양의 도형의 외부와 정사각 형 A₁B₁C₁D₁의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 R₁이라 하자. 그림 R₁에서 선분 G₁E₁ 위의 점 A₂, 선분 E₁F₁ 위의 점 B₂와 호 G₁F₁ 위의 두 점 C₂, D₂를 꼭짓점으로 하고 선분 A₂B₂가 선 분 A₁B₁과 평행한 정사각형 A₂B₂C₂D₂를 그린다. 정사각형 A₂B₂C₂D₂에 그림 R₁을 얻는 것과 같은 방법으로 그린 □ 모양의 도형의 외부와 정사각형 A₂B₂C₂D₂의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을 R₂라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 Rₙ에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 Sₙ이라 할 때, \(\lim_{n \to \infty} S_n\)의 값은? (4점)

풀이 전략

반복적으로 작도되는 도형들의 크기가 일정 비율로 줄어드는 점에 착안하여, 등비수열을 이용해 전체 색칠 영역의 극한을 구한다.
풀이
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