질문
문제 이해
30. 양의 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를
\[ f(x) = \begin{cases} 2^x + 2^{-a} - 2 & (x < a) \\ 2^{-x} + 2^a - 2 & (x \ge a) \end{cases} \]
라 할 때, 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시키도록 하는
\(a\)의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 하자.
함수 \(y = |f(x)|\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 서로 다른
두 점에서 만나도록 하는 양수 \(k\)는 오직 하나뿐이다.
\(2^{M+m} = p + \sqrt{q}\)일 때, \(p + \)□□□□□
풀이 전략
우선 \(f(x)\)가 왼구간(\(x<a\))에서는 증가, 오른구간(\(x\ge a\))에서는 감소하는 ‘꺾이는’ 그래프임을 확인한다. 이어서 단조성을 살펴 \(y=|f(x)|\)를 그렸을 때, 어떤 값 \(a\)에서만 직선 \(y=k\)가 정확히 두 점에서 만나게 되는 \(k\)가 하나만 존재함을 찾는다.
풀이
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