질문
문제 이해
A140
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2017실시(나) 9월/교육청 17(고2)
그림과 같이 원 \(x^2 + y^2 = 1\)과 곡선 \(y = \sqrt{x+1}\)이 직선 \(x = t\)
(\(0 < t < 1\))과 제1사분면에서 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각
형 OPQ의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to 0^+} \frac{S(t)}{t^2}\)의 값은? (단, O는 원
점이다.) (4점)
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0);
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5);
\draw (0,0) circle (1);
\draw (0,0) node[below] {O};
\draw (1,0) -- (1,1);
\draw[domain=0:1] plot (\x,{sqrt(\x+1)});
\draw (1,1.414) node[above right] {Q};
\draw (1,1) node[below right] {P};
\draw (1,0) node[below] {1};
\draw (0,1) node[left] {1};
\draw (-1,0) node[above] {\(x^2+y^2=1\)};
\draw (1.2,1.414) node {\(y = \sqrt{x+1}\)};
\end{tikzpicture}
풀이 전략
두 점 P, Q의 좌표를 구한 뒤, 삼각형 넓이 공식을 구하고 t가 0에 가까워질 때의 극한을 구한다. 여기서 테일러 전개를 사용하여 무리식을 근사하는 것이 핵심이다.
풀이
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Step1. 점 P, Q, A 의 좌표 구하기
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Step1. 직선의 기울기 구하기
두 점 A(1,4)와 B(t, 4/t)를 이용해 직선의 기울기를
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\(
m^2 = \frac{1/(2t^2)}{(t + 1/t)^2 - 1/(2t^2)} \)
Step1. 접선의 좌표 설정
원에 대한 점 P에서 접선을 구해 제1사분면과 만나는 접점을 Q로 설정한다
Step1. 원의 중심과 반지름 구하기
Q(t,0)이 접점이므로 중심은 (t, r(t