자연수-에-대하여-원점을-지나는-직선과-곡선-가-제1사분면에서-접할-때-접점의-x좌-표를-직선의-기울기를-이라-하자-다음은-의-값을-구-하는-과정이다-원점을-지나고-기울기가-인-직

Question

자연수 $n$에 대하여 원점을 지나는 직선과 곡선
$y = -(x-n)(x-n-2)$가 제1사분면에서 접할 때, 접점의 x좌
표를 $a_n$, 직선의 기울기를 $b_n$이라 하자. 다음은 $\lim_{n\to\infty} a_n b_n$의 값을 구
하는 과정이다.

원점을 지나고 기울기가 $b_n$인 직선의 방정식은 $y = b_n x$이다.
이 직선이 곡선 $y = -(x-n)(x-n-2)$에 접하므로 이차
방정식 $b_n x = -(x-n)(x-n-2)$의 근 $x = a_n$은 중근이다.
그러므로 이차방정식
$x^2 + \{b_n - 2(n+1)\}x + n(n+2) = 0$
에서 이차식
$x^2 + \{b_n - 2(n+1)\}x + n(n+2)$
는 완전제곱식으로 나타내어진다.
그런데 $a_n > 0$이므로
$x^2 + \{b_n - 2(n+1)\}x + n(n+2) = \{x - \sqrt{n(n+2)}\}^2$
에서 $a_n = \text{(가)}$, $b_n = \text{(나)}$이다.
따라서 $\lim_{n\to\infty} a_n b_n = \text{(다)}$이다.

위의 (가)와 (나)에 알□□□□□

Qanda AI · Answer

**Step1. aₙ, bₙ을 완전제곱식으로부터 구하기**
이차식 x²+[bₙ−2(n+1)]x+

문제 이해

풀이 전략