질문
문제 이해
0644
tan \(A = 2\)일 때, \(\frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \cos A}\)의 값은?
\( (단, 0^\circ < A < 90^\circ) \)
① \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
② \(\frac{1}{2}\)
③ \(\frac{\sqrt{3}}{□}\)
④ \(\frac{□}{□}\)
풀이
Integer a semper turpis. Morbi ut leo in metus hendrerit aliquam et nec tortor. Morbi mollis aliquet tempor. Donec condimentum lacinia libero, vel feugiat dui lacinia nec. Morbi vel mauris in ex pretium gravida quis vel diam. Quisque porta nulla at elementum elementum. Vivamus rhoncus lectus id diam consectetur posuere.
Quisque vehicula est ut condimentum viverra. Quisque ut nibh aliquet, egestas urna sit amet, malesuada leo. Ut auctor iaculis quam ac ultricies. Curabitur a mi sem.
Quisque aliquet viverra orci et mollis. Pellentesque neque mauris, bibendum sed auctor id, vulputate eu orci. Ut egestas laoreet sem, sit amet consequat eros malesuada quis. Etiam tempus dictum lacus, vel ullamcorper nisi laoreet at. Donec eu mauris non arcu volutpat interdum. Nulla sagittis erat ut auctor sollicitudin. Pellentesque vulputate feugiat eleifend. Quisque ullamcorper venenatis leo vel gravida. Nam eu semper leo.
유사 문제와 풀이
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우선 tan A가 \(\frac{3}{2}\) 임을 얻는다. 0° < A < 90°에서 sinA와 cosA는 모두 양수이므로, sinA : cosA = 3 : 2로 놓을 수 있다. 따라서 sinA = \(\frac{3}{\sqrt{13}}\), cosA = \(\frac{2}{\sqrt{13}}\) 이다.
그렇다면
\(
\frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} = \frac{\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) + \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}{\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) - \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)} = \frac{5}{1} = 5.
\)
tan A가 3이므로, \(\sin A = 3\cos A\) 이다. 양변을 \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) 에 대입하면:
\(
(3\cos A)^2 + (\cos A)^2 = 1 \\
9\cos^2 A + \cos^2 A = 10\cos^2 A = 1 \\
\cos^2 A = \frac{1}{10},\quad \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}} \\
\sin A = 3\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\)
45° < x < 90° 범위에서는 tan x가 sin x보다 항상 크므로 sin x - tan x는 음수가 됩니다. 따라서
\(\sqrt{(\sin x - \tan x)^2} = |\sin x - \tan x| = \tan x - \sin x\)
이고, 마찬가지로 tan x - sin
Step1. tan A로부터 sin A와 cos A 구하기
tan A=1/2 이므로, 직각삼각형에서 대변:밑변=1:2 를 가정합니다. 따라서 빗변은
두 각을 삼각함수 덧셈정리를 이용해 전개하면, 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta\), \(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta\)