질문
문제 이해
그림과 같이 OA₁=4, OB₁=4√3인 직각삼각형 OA₁B₁이 있다.
중심이 O이고 반지름의 길이가 OA₁인 원이 선분 OB₁과 만나는 점
을 B₂라 하자. 삼각형 OA₁B₁의 내부와 부채꼴 OA₁B₂의 내부에서
공통된 부분을 제외한 □□□□의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R₁
이라 하자.
그림 R₁에서 점 B₂를 지나고 선분 A₁B₁에 평행한 직선이 선분 OA₁
과 만나는 점을 A₂, 중심이 O이고 반지름의 길이가 OA₂인 원이 선
분 OB₂와 만나는 점을 B₃이라 하자. 삼각형 OA₂B₂의 내부와 부채
꼴 OA₂B₃의 내부에서 공통된 부분을 제외한 □□□□의 도형에 색
칠하여 얻은 그림을 R₂라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 그림 Rₙ에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 Sₙ이라 할 때, \(\lim_{n \to \infty} S_n\) = □□□□(□□□□)
풀이 전략
문제 해결을 위해 각 단계에서 새로 만들어지는 삼각형과 원의 교차 부위를 유사도(scaling)로 관찰하고, 각 반복에서 더해지는 영역의 넓이가 일정 비율로 감소하는 유사도를 이용하여 무한 급수를 구한다.
풀이
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