질문
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문제 이해

5 모든 실수 xx에 대하여 등식 x3−ax2−bx+8=(x2+2x−1)(x−c)x^3 - ax^2 - bx + 8 = (x^2 + 2x - 1)(x - c) 가 성립할 때, 상수 aa, bb, cc에 대하여 a+ba + b□□□□□

풀이 전략

식의 양변을 전개한 뒤, 동일 차수별로 계수를 비교하여 문제를 해결한다.
풀이
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식의 양변을 전개하여 계수를 비교하면 간단히 값을 구할 수 있습니다. 우선 오른쪽 식 (x-1)(ax^2 + bx + c)를 전개해 봅니다: (x−1)(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx−ax2−bx−c (x-1)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx - ax^2 - bx - c 이를 정리하면: ax3+(b−a)x2+(c−b)x−c ax^3 + (b - a)x^2 + (c - b)x - c 왼쪽 식 x^3 - 2x + 1과 항별로 비교하면, 1) x³의 계수 비교
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먼저 비교를 위해 왼쪽 식과 오른쪽 식을 전개해 계수들을 대응시킨다. 왼쪽 식은 (a+b)x+(b−2c)y(a+b)x + (b-2c)y 이다. 오른쪽 식은 (c−2)x−(c−2)(c-2)x - (c-2) 이다. 이 식이 모든 x,yx, y에 대해 동일하기 위해서는 먼저 yy의 계수를 비교하여 b−2c=0 b - 2c = 0 이 되어야 하므로 b=2c b = 2c 이다. 다음으로 xx의 계수를 비교하면 a+b=c−2 a + b = c - 2
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계수 비교를 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다. x2+4x+5=a(x−1)2+b(x−1)+cx^2 + 4x + 5 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c 오른쪽을 전개하면 a(x−1)2+b(x−1)+c=ax2−2ax+a+bx−b+ca(x-1)^2 + b(x-1) + c = a x^2 - 2a x + a + b x - b + c 계수를 비교하면, x2x^2