질문
문제 이해
함수 \(f(x) = \frac{3^x}{3^x+3}\)에 대하여 점 \((p, q)\)가 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점
이면 실수 \(p\)의 값에 관계없이 점 \((2a-p, a-q)\)도 항상 곡선
\(y = f(x)\) 위의 점이다. 다음은 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정이다.
점 \((2a-p, a-q)\)가 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점이므로
\[ \frac{3^{2a-p}}{3^{2a-p}+3} = a - \text{(가)} \]
이다. ◎은 실수 \(p\)의 값에 관계없이 항상 성립하므로
\(p=0\)일 때,
\[ \frac{3^{2a}}{3^{2a}+3} = a - \frac{1}{4} \]
이고,
\(p=1\)일 때,
\[ \frac{3^{2a}}{3^{2a}+\text{(나)}} = a - \frac{1}{2} \]
이다. ◎, ◎에서
\[ (3^{2a}+3)(3^{2a}+\text{(나)}) = 24 \times 3^{2a} \]
이므로
\(a = \frac{1}{2}\) 또는 \(a = \text{(다)}\)
이다. 이때, ◎에서 좌변이 양수이므로 \(a > \frac{1}{2}\)이다.
따라서 \(a = \text{(다)}\)이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 \(g(p)\)□□□□□(□□□)
풀이 전략
문제의 핵심은 지수방정식을 통해 f(x)의 대칭 성질을 만족시키는 a를 찾고, 이어서 제시된 값들을 대입하여 (m-n)×g(2)를 구하는 것이다.
풀이
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