명제의 증명

대표 공식
여집합의 원소의 개수

전체집합 U의 부분집합 A에 대하여

n(Ac)=n(U)-n(A)
차집합의 원소의 개수

두 집합 A, B에 대하여

n(A-B)=n(A)-n(AB)=n(AB)-n(B)
합집합의 원소의 개수

두 집합 A, B에 대하여

n(AB) = n(A)+n(B)-n(AB)

세 집합 A, B, C에 대하여

n(ABC) = n(A)+n(B)+n(C)

                        -n(AB)-n(BC)-n(CA)

                        +n(ABC)

대표 문제

search-thumbnail-$8k$ 귀류법을 이용하여 다음 명제가 참임을 증명하시오. 
'자연수 n에 대하여 $n^{2}$ 이 3의 배수이면 n도 $3$ 의 배수이다.'
고등학교
수학2
search-thumbnail-다음 명제가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하시오. 
$1_{\sqrt{2} }$ 는 유리수가 아니다." 
증명 결론을 부정하여 $\sqrt{2} $ 가 유리수라고 가정하면 
$\sqrt{2} =\dfrac {n} {m}\left(m,$ $n$ 은 서로소인 자연수) $①$ 
이때 $①$ 의 양변을 제곱하면 $2=\dfrac {n^{2}} {m^{2}}$ 이므로 $n^{2}=2m^{2}$ $②$ 
여기서 $n^{2}$ 이 짝수이므로 n도 짝수이다. 
$n=2k\left(k$ 는 자연수)로 나타낼 수 있으므로 $②$ 에 대입하면 
$\left(2k\right)^{2}=2m^{2},$ 즉 $m^{2}=2k^{2}$ 
여기서 $m^{2}$ 이 짝수이므로 m도 짝수이다. 
즉, $m,$ $n$ 이 모두 짝수이므로 $m,$ $n$ 이 서로소라는 가정에 모순이다. 
따라서 $\sqrt{2} $ 는 유리수가 아니다.
고등학교
수학2
search-thumbnail-$37.$ 다음은 자연수 $m,n$ 에 대하여 명제 $m^{2}+n^{2}$ 
이 홀수이면 mn은 짝수이다.' 가 참임을 증명하는 
과정이다. 
$<\tarc{0} -$ $-$ 증명$>$ 
주어진 명제의 대우 $6_{mn}$ 이 (가) 이면 
$m^{2}+n^{2}$ 은 (나) $19$ 이다.' 가 참을 보이면 된 
다. 
$mn$ 이 (가) $\right)$ 이면 $m,n$ 이 모두 (가) $1$ 이 
므로 $m=2k-1,$ $n=2l-1$ $\left(k,l$ 1은 자연수) 
로 나타낼 수 있다. 
이때, $m^{2}+n^{2}=$ (다) J이므로 
$m^{2}+n^{2}$ 은 (나) $1$ 이다. 
따라서 대우가 참이므로 주어진 명제는 참 
이다. 
위의 증명 과정에서 (가), $\left(1$ 나), $\left($ 다)에 들어갈 
알맞은 것을 차례대로 적은 것은? 
① 홀수, 짝수, $2\left(2k^{2}-2k+2l^{2}-2l\right)$ 
$②$ 짝수, 홀수, $2\left(2k^{2}-2k+2l^{2}-2l\right)$ 
$③$ 홀수, 짝수, $2\left(2k^{2}-2k+2l^{2}-2l+1\right)$ 
④ 짝수, 홀수, $2\left(2k^{2}-2k+2l^{2}-2l+1\right)$ 
$⑤$ 홀수, 짝수, $2\left(2k^{2}-2k+2t^{2}-2l+1\right)+1$
고등학교
수학1
search-thumbnail-$3+|2=\right)7^{2}$ 
0255 
평제 실수 a.b에 대하여 a$+b>$ $\times $ 0이면 a, b 중 적어도 하 
양수이다.' 를 귀류법으로 증명하여라. 
나는 4.공b돌 다 양수기아니 cL $a≠02^{2}b≠0$ 이면 at들 0 이다 
$\leq 0$ 
0256 eso\tb0 의 모쉰팅y ntb0이nd ab 이 중직어도 $a≠θ$ $bFθ$ $a+$ 
명제 '실수 a, b에 대하여 440이면 $a=0Q$ 이고 $b=0$ $1$ 1 1 3$z5\div 14$ $a≠0$ $20$ $4+0xθ$ 
다.'를 다음과 같은 방법으로 증명하여라. 
F 대우를 이용한 증명7() $stb≠0~\sqrt{1} $ 면 d릭 0이당 
(a귀류법 $a^{2}+b\div 0$ 언 이$05i$ 는 b7001다 $\leq z$ $a≠0$ $2i^{2}$ 는 bt0이다 리2 가정하면, 
터 MAdy 다 고색창으 시 $a≠0$ $a^{2}>0$ $-b=0$ $a^{2}+b^{2}≠$ 
$\right)$ $23bb$ 02. 명제 $039$ $b≠0$ $b^{2}>θa=θ$ $a^{2}+b^{2}+0$ 
A을 2호니e아t상가 왜용에n 2의 배쉬니서다h a주는0 이 되지만는로 $a=0,b^{=0}$ 아다. 
$=$ $\dfrac {9} {}$
고등학교
수학2