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Problema
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por En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que corresponden fórmula general para a ecuaciones cuadráticas en las que se utiliza $laf6rm$ encontrar sus soluciones. LA FÓRMULA GENERAL >Para empezar En las secuencias $8y9$ de Matemáticas III, volumen I, resolviste ecuaciones $cuadr$ $tica5$ usando tus propios procedimientos, operaciones inversas o la factorización. $Hace$ varios $siglos$ los matemáticos dedujeron una fórmula para resolver cualquier $uierecua-$ $onesenla5$ ción cuadrática. Esta fórmula puede ser muy útil para resolver aquellas ecuaciones que resulta dificil utilizar alguno de los procedimientos anteriores. > Consideremos lo siguiente Resuelve el siguiente $acetii0:$ Luz pensó un número, lo elevó al cuadrado y multiplicó el resultado por 10. $Alo$ obtenido $1esum0$ tres veces el numero que pensó y, al final, para su $50rpre$ $sa,$ obtuvo 1. Se sabe que Luz realizó correctamente todas las operaciones. $Hay$ dos números que pudo haber pensado $lu2$ o bien $3$ $comparen$ sus soluciones y $comenten$ a) ¿Pudieron encontrar los posibles números que $0ens0$ $lu27$ b) ¿Qué procedimientos usaron para encontrarlos?
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Solución
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Profesor de Qanda - luisguib13
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Problemas similares
search-thumbnail-b) Encuentren los valores del término independiente y de los coeficientes de los Porejemplo, para resolver una ecuación como 5x se hace siguiente:
SECUENCIA a) Pasen la ecuación 10x + 3x-1 a su forma general. $>>A|$ lo que llegamos La fórmula general se puede usar para resolver cualquier ecuación de segundo grado. b) Encuentren los valores del término independiente y de los coeficientes de los tér- Por ejemplo, para resolver una ecuación como 5x + 6x = -1, se hace lo siguiente: minos cuadrático y lineal. 1° Se escribe la ecuación en su forma general. $5x^{2}+6x+1=0$ 2° Se obtienen los valores de a, b. c a = 5, $b=6,$ $c=+1$ 3° En la fórmula general, se sustituyen a, b, c $x=\dfrac {-\left(6\right)≠\bar{\sqrt{\left(6\right)^{2}} -4\left(5\right)\left(1\right)} } {2\left(+5\right)}$ por sus respectivos valores. 4° Se realizan las operaciones indicadas. $x=\dfrac {-6z\sqrt{36-20} } {10}$ -6 10 4 c) En la fórmula general, sustituyan a, b, c por sus respectivos valores y realicen las 5° Se obtienen las soluciones. operaciones hasta obtener las dos soluciones de la ecuación. $-\left($ $\right)x$ K )? -4(X %3! -O+ V9+ 40 $x_{1}=\dfrac {-6+4} {10}=\dfrac {-2} {10}=-0_{.2}$ $x_{2}=\dfrac {-6-4} {10}=\dfrac {-10} {10}=-1$ 2() 6° Se verifican las soluciones en la ecuación original $5x^{2}+6x=-1$ X, = - 32+0 7 Para $x_{1}=-0_{.2}$ Para $x_{2}=-1$ $-1\right)=-1$ $6=-1$ $-6=-1$ $1=-1$ $Pa$ $5\left(-1\right)^{2}+6$ $5\left(+1$ -23-0 7 !! $5\left(-0.2\right)^{2}+6\left(-0.2\right)=-1$ $5\left(+0.04\right)-1.2=-$ $0.2-1.2=-$ $-1=-1$ d) Verifiquen sus soluciones sustituyèndolas en la ecuación 10x + 3x= 1. III. ¿Qué procedimiento usarian fórremspulua esta. Sustituyan por el valor de x: Sustituyan por el valor de x;: ral), para resolver cada una de (flaacs tosriigzuaiceinóten, s oepceuraacciioonneess ? iJnvusetrisfaiqs uen o la su gene- 10 ( )? + 3( )= 1 10 (_ )? + 3( )3D1 Ecuación $Proccdmcnt0$ $\bar{os00od6} $ $7x2+4x=$ 1 2x = 50 $coo3\pi n$ $60t$ sus soluciones y $comcnrcn$ /cuáles son los números que pudo haber pen- 3x + 6x = 0 24 25
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search-thumbnail-1. Completen la siguiente tabla para tratar de resolver la ecuación 10x^{2}+3x= 1 y
> Manos a la obra 1. Completen la siguiente tabla para tratar de resolver la ecuación $10x^{2}+3x=$ 1 y encontrar los posibles numeros que penso Luz. En la ultima columna calculen el valor que obtienen al evaluar la expresión algebraica del lado izquierdo de la ecuación, para cada uno de los valores de x. $10x^{2}+3x$ Valor de x x2 $10x^{2}$ 1. $\dfrac {3x} {\dfrac {3\left(1\right)=3} {3\left(3\right)=9}}$ $\dfrac {\left(1\right)^{2}=1} {\left(3\right)^{2}=9}$ $\dfrac {10\left(1\right)=10} {10\left(9\right)=90}$ 2 $0.5$ -1 a) ¿Entre que números enteros creen que se encuentra uno de los números que $cn$ só Luz? Justifiquen su respuesta. b) ¿Entre quė números fraccionarios creen que se encuentra uno de los números que pensó Luz? Justifiquen su respuesta. Comparen sus respuestas y comenten las dificultades que tuvieron para encontrar Jas dos soluciones de la ecuación $10x^{2}+3x=1$ II. Para encontrar los dos posibles números que pensó Luz, resuelvan la ecuación 10x2 + 3x = 1 primero escribiéndola en su forma general y luego usando la $f6cmw$ la general. Esto es: Dada una ecuación en su forma general $ax^{2}+bx+c=0$ las soluciones se encuen Recuerden que: tran con la fórmula $aenera|$ Und ecuoción cuadrática puede tener hasta dos $\dfrac {b±\sqrt{b^{2}-} 4ac} {2a}$ soluciones. En esta fórmula a y b son los coeficientes de los términos de segundo y primer arede respectivamente, mientras que ces el término independiente. 4ac indica que una vez obtenido el vala El signo que antecede al radical yo $-4ac$ numérico de $2-4ac$ una de las soluciones se obtiene al considerar cl signe alor de la son la otra el signo "- Las dos soluciones ecuación $10x^{2}+3x=1s0$ $-b+\sqrt{b^{2}} -4ac$ 2a $b-\sqrt{b^{2}} ^{-4a}$ 2a
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